Ok, proviamoci.
Gli ingressi e uscite del trasformatore dovrebbero essere quelle della foto allegata.
Con il tester in AC 250v misura fra A e B,C,D, poi fra B e A,C,D, fra C e A, B, D. fra D e A,B,C e segnati tutte le misure, questo è il primario, quindi dovrebbe arrivarci la 230V.
Sempre con il tester in AC ora con lo stesso criterio misura i punti contrassegnati con 1,2,3,4,5 dovrebbe essere il secondario, quindi dovresti trovare tensioni più basse, segnati diligentemente il tutto e confronta i dati ricavati con quelli dei trasformatori delle altre lampade.
In primo luogo, presta molta attenzione, lavori con tensione di rete, quindi pericolosa !!!!
Poi, prima di effettuare le misure, con un piccolo cacciavite o lama , ripulisci i punti di misura, potrebbero avere uno strato di vernice isolante che falserebbe le misure.
Io comunque prima di imbarcarmi in fantomatici guasti, avrei fatto prima la prova con una batteria nuova...

Hai ragione prima di tutto meglio la prova batteria. L'ho ordinata su ebay, aspettiamo che arrivi, faccio le prove e vediamo che succede. Poi eventualmente procedo con il resto come mi hai indicato tu.
Per il momento ti ringrazio. Ti faccio sapere.

Avevi ragione!! Era la batteria in tutte le lampade.... L'ho ordinata su ebay 3,99 Eu + 4,98 Eu di spedizione, è arrivata oggi e l'ho provata in tutte le lampade e funzionano. Per il momento ne ho sistemata una e visto che il venditore si trova a soli 25 km prima o poi passo e prendo le altre 2 batterie e sistemo tutto. Avessi ascoltato l'elettricista avrei sostituito il trasformatore che tra l'altro, secondo l'assistenza Beghelli, è introvabile e quindi avrei dovuto acquistare la scheda (32,10 Eu + spedizione).
GRAZIE!!!!

Per assicurarti che le lampade funzionino correttamente, segui questo iter:
1) collega la batteria e la rete, lascia caricare la batteria per 24 h. o più;
2) disconnetti la rete e lascia scaricare la batteria (lampada accesa) per 3/4 d'ora (l' autonomia del tuo modello dovrebbe essere di 75 min circa);
3 riconnetti la rete e ricomincia dal punto 1.
A questo punto avrai testato se la batteria si ricarica correttamente.
Se è tutto OK, ricordati di mettere in funzione la lampada almeno una volta al mese.

Tutto chiaro. Grazie!
Infatti a questo punto mi rimane un dubbio: le due lampade, chiamiamole "con il led rosso" ossia quelle collegate all'interruttore, sono state montate e sostituite e le seconde (ossia quelle attuali) hanno funzionato per pochissimo tempo. Perché? Probabilmente facendo la prova che dici tu mi rendo conto se tutto funziona regolarmente.
Grazie.